本文常用量级绝对无穷部分构造6玄宇宙V逻辑多元(第2页)
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·玄宇宙计划将遵循高度潜在主义和宽度完成主义:尽管我们有一个明确而连贯的方式通过迭代过程生成序数,但目前还没有类似的迭代过程来生成越来越丰富的幂集。
为啥宽度潜在主义是不太合理的?考虑这样的公理:
·任何序数都是潜在的可数:对于V的任何序数a,我们可以将V增厚到a是可数的内模型m。
激进潜在主义:高度潜在论+宽度潜在论
·即使只是宽度潜在主义(允许宇宙被加厚),也会迫使我们进入高度潜在主义:如果我们继续加厚以使V的每个序数都是可数的,那么在ord(V)步骤之后,我们也被迫加长以达到一个满足幂集公理的宇宙mo。在那个宇宙中,原来的V看起来是可数的。但是,我们可以用这个新的宇宙m1重复这个过程,直到mo也被看作是可数的。之所以这满足了高度潜在主义,是因为我们不能以所有宇宙的联合来结束这个过程,否则这将不是ZFc的模型(幂集公理将失效),因此必须在高度上延长。
最大化协议:
本协议旨在将高度和宽度最大化的研究,分成三个阶段。
1。将序数最大化(高度最大化)。
2。在实现了序数最大化之后,再实现基数最大化。
3。在对序数和基数进行最大化之后,对幂集进行最大化(宽度最大化)。
阶段1通过#-生成完成,阶段3通过类-Imh公理完成;对于基数最大化,我们希望对于一切基数k,k+尽可能大。
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【玄宇宙计划的已知结论(已被证明一致)】
[三阶反射公理是不一致的[3]。但我们可以换个方式定义a阶反射原理。]
扩展反射公理(eRa,extendedRef1enetaxiom):
·如果V对eRa成立,那么存在一个ZFc的模型V*(称之为V的延展),满足p是一阶公式,p(a)在V*中成立,a是V的子类,存在V上的序数a<b,
使得Vb?p(anVa)。
到此,使用eRa,对于V*上的所有序数a,都可以描述V的a-反射。
#-生成(#-generation):
#-生成断言存在一种特殊的集合,叫做a#(sharp),通过迭代“生成”V。一个最佳的反射原理产生了,因为这个迭代也为V产生了一个封闭的无界的不可知类,足以见证任何显然成立(V=L之内)的反射原理。至关重要的是,生成V的#不能是V的一个元素,否则这种最优性就不可能实现。
先,设想V可以被看作是一个初等宇宙链Vki:i<ord的最后一步,我们设定V=Vkord。我们可以继续构建这个"越"V本身的链条,产生一个向上的初等宇宙链V=Vkord?Vkord+1?Vkord+2?。。。。
即便允许V、ord这样的对象是完成的对象,可以使用,但让人难以理解的是“ord+1”、“Vord之外”这样的概念。毕竟,除了它们没有良好的定义之外,我们还很难想象V之外的所谓“类似集合的对象”是什么样。
V是不可辨认生成(indisneterated)的,如果:
1。有一个长度为ord的连续序列ko<k1<。。。,使得kord=ord,并且有换元初等嵌入πi,j:V→V,其中πi,j有临界点ki并sendskitokj。(没理解,不知道怎么翻译)
2。对于任何i≤j,V的任何元素在V中都是可以被πi,j和{k?:i≤?<j}内的元素一阶定义。
这等价于#-生成。以后也用#-生成来称呼该公理。
#-生成意味着所有与V=L兼容的反射形式。如果o#存在,那么#-生成一致。因此,作者认为#-生成表达了最强的高度反射原理,因此可以合理地声称#-生成是表达V的高度最大化的最佳原则。
#-生成并不满足宽度完成主义:为了得到一个足以生成V的#-生成,我们必须要构造一个Rank小于ord(V)的不属于V的集合。为了解决这个问题,引出了弱#-生成。
内模型假设(Imh,Innermode1hypothesis):
·如果一个一阶句子在V的某个外模型中成立,那么它在V的某个内模型中也成立。
在这个版本的表述中,我们可以把外模型理解为一个包含V的、与V的序数相同的、满足ZFc的传递集合V*,内模型是指一个V的可定义子类,其序数与V相同,并且满足ZFc。根据激进潜在主义,ZFc的任何传递模型在更大的这类模型中是可数的,由此我们可以推断出V的丰富的外模型的存在。
Imh是一个非常“魔怔”的模型,它的一致性可以从pd(投影决定性),也就是个oodin基数得出;但如此强力的模型之内却并不含有不可达基数。
Imh不满足宽度完成主义,为了实现宽度完成主义,接下来会转移到V-逻辑上。
V-逻辑(V-1ogic):
V-逻辑具有以下的常元符号:
1。表示V的每一个集合a
2。Vˉ表示宇宙全体集合容器V
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